2010 年安徽预赛 · 第 7 题

解答

记 $\mathbf{u}=\overrightarrow{OA},\mathbf{v}=\overrightarrow{OB},\mathbf{w}=\overrightarrow{OC}$，并把平面原点取为 $O$。三个系数各自在 $[0,1]$ 中独立变化，没有系数和为 $1$ 的条件。 设点 $D,E,F$ 的位置向量依次为 $\mathbf{u}+\mathbf{v},\mathbf{v}+\mathbf{w},\mathbf{w}+\mathbf{u}$。 先严格确定所求区域：长方体 $[0,1{]}^3$ 中的任一点都是八个顶点的凸组合（各权重为 $x$ 或 $1-x$、$y$ 或 $1-y$、$z$ 或 $1-z$ 的乘积），故它在线性映射 $(x,y,z)\mapsto x\mathbf{u}+y\mathbf{v}+z\mathbf{w}$ 下的像，恰为八个像点的凸包；反方向由立方体的凸性立即成立。

由于 $O$ 为内心，$7\mathbf{u}+6\mathbf{v}+5\mathbf{w}=0$，所以八点中的 $0$ 在 $△ABC$ 内。 令 $\mathbf{s}=\mathbf{u}+\mathbf{v}+\mathbf{w}$，则

因此 $\mathbf{s}$ 在 $△DEF$ 内。八点凸包于是等于六点 $A,D,B,E,C,F$ 的凸包。

按逆时针方向标记 $A,B,C$。因 $O$ 在 $△ABC$ 内，有 $[\mathbf{u},\mathbf{v}]>0$、$[\mathbf{v},\mathbf{w}]>0$、$[\mathbf{w},\mathbf{u}]>0$，其中 $[,]$ 表示平面有向面积行列式。 六边形各边方向依次为 $\mathbf{v},-\mathbf{u},\mathbf{w},-\mathbf{v},\mathbf{u},-\mathbf{w}$，按极角循环递增：若三条原向量的极角为 $\alpha <\beta <\gamma <\alpha +2\pi$，内点条件给出三相邻差均小于 $\pi$，于是

故这些点按上述次序构成严格凸六边形，$O$ 在其内。连接 $O$ 与六个顶点，得到六个互不重叠的三角形。 其中 $S_{OAD}=S_{ODB}=S_{OAB}$；同理另两组面积分别各为 $S_{OBC}$、$S_{OCA}$。因此

原三角形半周长为 $9$，海伦公式给出 $S_{ABC}=\sqrt{9\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=6\sqrt{6}$，所以所求面积为 $\boxed{12\sqrt{6}}$。