2012 年河北预赛（高二卷） · 第 9 题

解答

原式要求 $\cos B\cos C\ne 0$。由 $\tan B+\tan C=\sin A/(\cos B\cos C)$，约去正的 $\sin A$ 并乘非零余弦得 $1=2\cos B$，所以 $\boxed{B=\pi /3,b=2R\sin B=3}$。面积为 $S=2R^2\sin A\sin B\sin C=3\sqrt{3}\sin A\sin C$。因 $A+C=2\pi /3$，$\sin A\sin C=[\cos (A-C)+1/2]/2\le 3/4$。故 $\boxed{S_{\max }=9\sqrt{3}/4}$，在 $A=C=\pi /3$ 时取到。