2021 年福建预赛

解答

取 $a=3$。$x=0,1,2$ 均满足不等式。若 $x=-n$（$n\ge 1$），原不等式等价于

但左端不超过 $3/e<2$，右端至少为 $2$，故无负整数解。若 $x\ge 3$， 则 $e^x>3x+1$，从而 $(x-2)e^x\ge e^x>3x+1$，亦无解。 所以 $a=3$ 时恰有三个整数解。

下面证明不能更小。若 $a\le 0$，则对充分小的负整数 $x$，右端 $ax+1$ 为正或等于 $1$， 而左端为负，故有无穷多个整数解。若 $a=1$ 或 $2$，则 $x=-1,0,1,2$ 都是解，至少有四个整数解。因此最小值为