2025 年广东预赛

解答

在第一式中取 $x=y=0$，得

因 $g(0)\ne 1/2$，故 $f(0)=0$。第二式再给出 $g(0)=g(0{)}^2$；由 $g(0)>0$，知 $g(0)=1$。

在第一式中取 $y=-x$，利用 $g$ 为偶函数，得到

因 $g(x)>0$，所以 $f$ 为奇函数。

令

将两式相加、相减可得

又因 $f$ 奇、$g$ 偶，

于是

题设给出 $h(2)=\sqrt{5}/15$，故

因此

从而