二项式定理 · 培玉一试

二项式定理

从这里开始

目标训练建设中。知识要点、方法卡和分级真题已可使用；先从一道真题开始，卡住时逐级看提示，核对后再换题验证。

从 F1 第一题开始随机来一道 F2

本专题核心公式速查

二项式题先判断要取的是某个系数、全部系数的和，还是带周期权或同余条件的一部分系数。直接展开通常不是第一步：因式分解、指数平移、整体赋值和单位根筛选都能减少工作。涉及整数次数与选择次数时，端项、零次选择和合并后的非零性必须逐一保留。

1. 先修与破题直觉：先把通项写成组合数乘系数幂乘变量幂；提取某次项时，先解选择次数，不急着算组合数。

2. 核心条件辨析： $P (1)$ 给系数和而非某一项系数；负幂可整体平移指数，但原 $x \neq = 0$ 仍要保留；单位根滤波要保留零次项。

3. 典型误区对比：先看下方系数权重与负幂常数项两组卡，再做自测。每次把目标指数代回所选因式的总次数核一次。

4. 方法迁移带练：把 $(x + 2 + x^{- 1})^{3}$ 改为平方，写成 $x^{- 2} (x + 1)^{4}$ ，常数项变为 $(2 4) = 6$ ，不是只选两次常数得到的 $4$ 。

5. 分级真题实战：先练“用完整二项式处理系数和与权和”，再练“以选择次数约束目标指数”；高阶筛选题使用单位根前先检查其阶数与保留的余数类。

知识要点

通项的项号比选择次数多一

对非负整数 $n$ ，二项式通项为 $(k n) a^{n - k} b^{k}$ ，其中 $k = 0, \dots, n$ 。按 $b$ 的选择次数从零递增编号，它对应第 $k + 1$ 个选择类型，不是第 $k$ 项。例： $(2 + x)^{4}$ 中 $x^{3}$ 的系数为 $(3 4) \cdot 2 = 8$ ，常数项为 $16$ 。合并后的实际项数还取决于幂次是否重合、系数是否抵消，不能只凭形式上的 $n + 1$ 种选择断言。

系数和是代入值，系数本身不是代入值

若 $P (x) = \sum c_{k} x^{k}$ ，则 $P (1) = \sum c_{k}$ ， $P (- 1) = \sum (- 1)^{k} c_{k}$ ，因此可求偶次与奇次系数和。例： $(2 + x)^{3}$ 的系数为 $8, 12, 6, 1$ ，总和 $27$ ，交错和 $1$ ；偶次系数和为 $14$ ，奇次为 $13$ 。指定某一项的系数则仍需按指数提取，不能用一个函数值代替。

负幂先作整体指数平移

若展开式为 $x^{- r} F (x)$ ，则其中 $x^{j}$ 的系数等于 $F (x)$ 中 $x^{j + r}$ 的系数，原表达式的 $x \neq = 0$ 条件仍保留。例如 $(x + 2 + x^{- 1})^{3} = x^{- 3} (x + 1)^{6}$ ，其常数项为 $(3 6) = 20$ 。先写清新旧指数对应，再取组合数，可避免把外部负幂方向移反。

分离变量后，系数与项数都可分别处理

若多项式分成 $F (x) G (y)$ ，则 $x^{i} y^{j}$ 的系数为两边对应系数之积。例如 $(x + 1)^{3} (y - 2)^{2}$ 中 $x^{2} y$ 的系数为 $3 \cdot (- 4) = - 12$ 。这两个展开各有 $4, 3$ 个非零系数，指数对又互异，所以乘积有 $12$ 个不同单项式。先证明非零与不同，才能把项数直接相乘。

总指数约束就是选择次数方程

从若干因式逐次选项时，所选次数都是非负整数，其和等于因式总数；指数再给另一条线性约束。例如 $(x + 1 + x^{- 1})^{4}$ 的常数项要求选 $x$ 和 $x^{- 1}$ 的次数同为 $r$ ，于是 $r = 0, 1, 2$ ，贡献分别为 $1, 12, 6$ ，总计 $19$ 。零次选择同样是合法情形，不能因看不到某种字母就漏掉。

复单位根编码交错权与下标筛选

由 $i^{k}$ 的四步循环， $(1 + i)^{4} = - 4$ 的实部是 $1 - 6 + 1 = - 4$ ，虚部是 $4 - 4 = 0$ ，故两者平方和为 $16$ 。三次单位根 $ω \neq = 1$ 则满足 $1 + ω^{j} + ω^{2 j} = 3$ 或 $0$ ，分别对应 $3 ∣ j$ 与否。例如 $(1 + x + x^{2})^{2}$ 的 $0, 3$ 次系数和为 $3$ ，可用三个单位根代入值之和再除以 $3$ 取得。

模素数先拆指数的进制数位

对素数 $p$ ，二项式中间组合数均被 $p$ 整除，故 $(1 + x)^{p} \equiv 1 + x^{p} (mod p)$ 。例： $5 = (12)_{3}$ ，所以 $(1 + x)^{5} \equiv (1 + x^{3}) (1 + 2 x + x^{2}) (mod 3)$ ，余数系数依次为 $1, 2, 1, 1, 2, 1$ ，其中四个为 $1$ 、两个为 $2$ 。逐系数取余与只求全部系数和的余数，是两个不同问题。

积分可以给二项系数加上精确权

由于 $1/ (k + 1) = \int_{0}^{1} t^{k} d t$ ，有限和可得 $\sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (k n) / (k + 1) = \int_{0}^{1} (1 - t)^{n} d t = 1/ (n + 1)$ 。例如 $n = 2$ 时，左边 $1 - 1 + 1/3 = 1/3$ 。遇到连续一次因子构成的分母，可先寻找类似的积分表示；这是精确恒等式，不能与积分估计中的上下界混用。

方法卡

二项式系数和：先认出完整展开式

组合数 $(k n)$ 表示从 $n$ 个不同对象选出 $k$ 个的子集数，等于 $n! / (k! (n - k)!)$ 。二项式定理 $(1 + t)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) t^{k}$ 把一整行系数编码在一个式子里。

完整讲解 · 例题 · 可练 22 题

一、是什么

系数和与单个系数

多项式 $P (t) = c_{0} + c_{1} t + \dots + c_{n} t^{n}$ 的全系数和是 $P (1)$ ，单个系数是某个 $c_{k}$ ，两者不同。 $(1 + t)^{n}$ 的系数和是 $2^{n}$ ；若杨辉三角把第一行定义为 $1$ ，第 $r$ 行对应次数 $r - 1$ 。

带权和可选一个特殊元素

$k (k n) = n (k - 1 n - 1)$ ：左边先选 $k$ 元子集再在其中标一个元素；右边先选那个元素，再选其余 $k - 1$ 个。于是 $\sum_{k = 0}^{n} k (k n) = n 2^{n - 1}$ ， $n \geq 1$ 。

先看一道例题

例 1：不展开也能加系数

求 $(2 + x)^{5}$ 展开后的所有系数之和。

怎么看出来：

全系数和令 $x = 1$ 。

解：

设展开多项式为 $P (x)$ ，每项 $c_{k} x^{k}$ 在 $x = 1$ 都变成 $c_{k}$ ，故所求为 $P (1) = 3^{5} = 243$ 。

答案：

$243$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
全系数和	令多项式输入为一
权重是下标 $k$	先选一个特殊元素移去权重
分母出现 $k + 1$	可写成单项式积分（见进阶“分母权与积分”）

三、怎么用

明确求全系数和、带权和还是单个系数。
把完整二项式写出并核次数。
选输入值或使用权重恒等式。
检查首末指标和行号约定。

四、再做一道

例 2：给子集标一个元素

求 $\sum_{k = 0}^{5} k (k 5)$ 。

怎么看出来：

把下标权转成选特殊元素。

解：

$k (k 5) = 5 (k - 1 4)$ ，且 $k = 0$ 项为零。因此和为 $5 \sum_{j = 0}^{4} (j 4) = 5 \cdot 2^{4} = 80$ 。

答案：

$80$ 。

五、容易错在哪

输入为一得到的是全部系数和，不是常数项或某个指定系数。
杨辉三角的行号要先用第一行校准；分母权转积分不能漏上下限。

进阶：分母权与积分 · 先修：基本定积分

分母权用积分

定积分可理解为曲线下带符号面积；这里用基本公式 $\int_{0}^{1} t^{k} d t = 1/ (k + 1)$ 。所以 $\sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (k n) / (k + 1) = \int_{0}^{1} (1 - t)^{n} d t = 1/ (n + 1)$ 。这里仅交换有限和与积分，不涉及无穷换序。

例 3：交错分母权

求 $\sum_{k = 0}^{3} (- 1)^{k} (k 3) / (k + 1)$ 。

怎么看出来：

有限和可逐项积分。

解：

原和等于 $\int_{0}^{1} (1 - t)^{3} d t = 1/4$ 。直接核 $1 - 3/2 + 3/3 - 1/4 = 1/4$ ，常数和两端项都包括。

答案：

$1/4$ 。

真题

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复杂括号求系数：先因式分解，再移动指数

括号能分解时先分解，通常能把多项式变成单个二项式的幂。除以 $x^{k}$ 就是指数整体减 $k$ ，所以要找的项在二项式里的指数要加 $k$ 。

完整讲解 · 例题 · 可练 7 题

一、是什么

二项式的通项

$(a + b)^{n}$ 由 $n$ 个括号相乘，选 $r$ 个括号取 $b$ ，其余取 $a$ ，这一项是 $(r n) a^{n - r} b^{r}$ ， $r = 0, 1, \dots, n$ 。这里 $(r n) = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}$ ， $n! = n (n - 1) \dots 1$ ， $0! = 1$ 。例如 $(x + 1)^{6}$ 中 $x^{5}$ 的系数是 $(5 6) = 6$ 。

先看括号能不能分解

$x + 2 + \frac{1}{x}$ 通分后是 $\frac{x ^{2} + 2 x + 1}{x} = \frac{( x + 1 ) ^{2}}{x}$ （ $x \neq = 0$ ）。分解之后，幂运算可以分到每个因子上： $(\frac{( x + 1 ) ^{2}}{x})^{n} = \frac{( x + 1 ) ^{2 n}}{x ^{n}}$ 。

除以几次幂，目标指数就加几

$\frac{( x + 1 ) ^{6}}{x ^{2}}$ 的 $x^{3}$ 项，来自 $(x + 1)^{6}$ 的 $x^{5}$ 项，因为 $x^{5} \div x^{2} = x^{3}$ 。规则是：要在 $\frac{F ( x )}{x ^{k}}$ 里找 $x^{m}$ ，就在 $F (x)$ 里找 $x^{m + k}$ 。方向别弄反。

两个变量：分组提公因式

$x y + a x + b y + c$ 分组时，只有 $c = ab$ 才能分解： $x y + a x + b y + ab = x (y + a) + b (y + a) = (x + b) (y + a)$ 。如果 $c \neq = ab$ ，这样分解不成立。分解后 $x$ 和 $y$ 分开了， $x^{i} y^{j}$ 的系数等于 $x^{i}$ 的系数乘 $y^{j}$ 的系数。

先看一道例题

例 1：系数等于指定值的项

$(x + 2 + \frac{1}{x})^{5}$ 的展开式中，系数等于 $45$ 的项是哪些？

怎么看出来：

括号是完全平方除以 $x$ ，分解后所有系数都能用一个组合数表示。

解：

$x + 2 + \frac{1}{x} = \frac{( x + 1 ) ^{2}}{x}$ ，所以原式 $= \frac{( x + 1 ) ^{10}}{x ^{5}}$ 。 $(x + 1)^{10}$ 中 $x^{r}$ 的系数是 $(r 10)$ ，除以 $x^{5}$ 后变成 $x^{r - 5}$ 。 $(r 10)$ 的值依次是 $1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1$ ，等于 $45$ 的是 $r = 2$ 和 $r = 8$ ，对应 $x^{- 3}$ 和 $x^{3}$ 。

答案：

$x^{3}$ 项和 $x^{- 3}$ 项，即 $45 x^{3}$ 和 $45 x^{- 3}$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
括号里有 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ ，系数像完全平方，如 $x + 2 + \frac{1}{x}$	通分，写成一个式子的平方除以 $x$
多项式形如 $x y + a x + b y + ab$	分组分解， $x$ 、 $y$ 分开后各算各的
问“系数为某值的项”“有多少项为负”	先分解，写出所有系数的统一式子，再判断
括号里有绝对值	设 $t = ∣ x ∣ \geq 0$ ；原式含 $\frac{1}{∣ x ∣}$ 时 $x \neq = 0$ ，此时 $t > 0$ （见进阶“负号与绝对值”）
问合并后有几项	分解后再数，并确认系数非零（见进阶“合并后的项数”）
求和式里有 $(k n)$ 和 $\frac{1}{k + 1}$	把 $k + 1$ 吸收进组合数（见进阶“组合数的移动”）

三、怎么用

看括号能不能分解。例如求 $(x^{2} + 3 x + 3 + \frac{1}{x})^{2}$ 中 $x^{3}$ 的系数。通分得 $\frac{x ^{3} + 3 x ^{2} + 3 x + 1}{x} = \frac{( x + 1 ) ^{3}}{x}$ （ $x \neq = 0$ ）。
把幂分配进去。原式 $= \frac{( x + 1 ) ^{6}}{x ^{2}}$ 。
移动目标指数。分母是 $x^{2}$ ，要找 $x^{3}$ ，就在 $(x + 1)^{6}$ 里找 $x^{3 + 2} = x^{5}$ 。
用通项算系数。 $(x + 1)^{6}$ 中 $x^{5}$ 的系数是 $(5 6) = 6$ 。
检查。直接展开原式， $x^{3}$ 只来自 $x^{2} \cdot 3 x$ 和 $3 x \cdot x^{2}$ ，系数是 $3 + 3 = 6$ ，一致。

四、再做一道

例 2：系数为负的项有几个

$(x y + 2 x - y - 2)^{4}$ 合并同类项后，系数为负的项有多少个？

怎么看出来：

常数项 $- 2 = 2 \times (- 1)$ ，满足分组分解的条件， $x$ 、 $y$ 能分开。

解：

$x y + 2 x - y - 2 = x (y + 2) - (y + 2) = (x - 1) (y + 2)$ ，所以原式 $= (x - 1)^{4} (y + 2)^{4}$ 。 $x^{i} y^{j}$ （ $0 \leq i, j \leq 4$ ）的系数是 $(i 4) (- 1)^{4 - i} \cdot (j 4) 2^{4 - j}$ ，不同的 $(i, j)$ 是不同的项，系数都不为 $0$ 。后面的因子是正数，所以符号由 $(- 1)^{4 - i}$ 决定： $i$ 为奇数时系数为负， $i = 1, 3$ ， $2$ 种。 $j$ 有 $5$ 种取法。共 $2 \times 5 = 10$ 个。

答案：

$10$ 个。

五、容易错在哪

除以 $x^{k}$ 时，目标指数要加 $k$ ，不是减 $k$ 。
不要把每个括号的项数直接相乘当作合并后的项数，要先写出合并后的式子，并查系数是否为 $0$ 。
分组分解要先验证常数项， $x y + a x + b y + c$ 只有 $c = ab$ 时才能分成 $(x + b) (y + a)$ 。
括号外的负号要乘 $(- 1)^{n}$ ；分解后别漏掉因子里的负系数。
通分时要记住 $x \neq = 0$ ；绝对值换元后只有 $t \geq 0$ ，原式含 $\frac{1}{∣ x ∣}$ 时才是 $t > 0$ 。

进阶：负号与绝对值

外面的负号要看次数奇偶

$x y$ 的系数是负数时，先把负号提出来： $- x y + x + 2 y - 2 = - (x - 2) (y - 1)$ 。再求 $n$ 次方时，要乘 $(- 1)^{n}$ ： $n$ 为偶数时负号消失， $n$ 为奇数时还在。

绝对值：换元，记住定义域

设 $t = ∣ x ∣$ ，一般只有 $t \geq 0$ 。原式含 $\frac{1}{∣ x ∣}$ 时要求 $x \neq = 0$ ，此时 $t > 0$ ，并且 $t + \frac{1}{t} - 2 = \frac{( t - 1 ) ^{2}}{t}$ 。结果最后要写回 $∣ x ∣$ ：奇数次的 $∣ x ∣$ 不能写成 $x$ ，偶数次的可以去掉绝对值，比如 $∣ x ∣^{2} = x^{2}$ ， $∣ x ∣^{- 2} = x^{- 2}$ 。

例 3：能去掉绝对值的项

$(∣ x ∣ + \frac{1}{∣ x ∣} - 2)^{4}$ （ $x \neq = 0$ ）按 $∣ x ∣$ 的幂展开。其中 $∣ x ∣$ 的指数是偶数的项，可以去掉绝对值写成 $x$ 的幂。这些项的系数之和是多少？

怎么看出来：

设 $t = ∣ x ∣$ ，括号是完全平方除以 $t$ ，分解后每一项的指数和符号都能写出来。

解：

设 $t = ∣ x ∣ > 0$ ，则括号 $= \frac{( t - 1 ) ^{2}}{t}$ ，原式 $= \frac{( t - 1 ) ^{8}}{t ^{4}}$ 。 $(t - 1)^{8}$ 中 $t^{r}$ 的系数是 $(r 8) (- 1)^{8 - r}$ ，除以 $t^{4}$ 后变成 $t^{r - 4}$ 。指数 $r - 4$ 是偶数，等价于 $r$ 是偶数，这时系数是 $+ (r 8)$ 。 $r = 0, 2, 4, 6, 8$ 对应的值是 $1, 28, 70, 28, 1$ ，和是 $128$ 。

答案：

$128$ 。

进阶：合并后的项数

问合并后有几项

不能直接把各因子的项数相乘，要先写出合并后的式子。分解后， $(x + a)^{n} (y + b)^{n}$ （ $a, b \neq = 0$ ）里，每个 $x^{i} y^{j}$ （ $0 \leq i, j \leq n$ ）的系数都不为 $0$ ，且不同的 $(i, j)$ 是不同的单项式，所以有 $(n + 1)^{2}$ 项。如果 $a = 0$ ， $x$ 的部分只有 $1$ 项，公式就不适用了。

例 4：合并后只剩很少的项

$(x y + x + y + 1)^{n} (x y - x - y + 1)^{n}$ （ $n$ 是正整数）合并同类项后有多少项？

怎么看出来：

$2$ 个括号都能分解，分解后有平方差。不能按“每个括号的项数”相乘。

解：

$x y + x + y + 1 = (x + 1) (y + 1)$ ， $x y - x - y + 1 = (x - 1) (y - 1)$ 。相乘得 $(x + 1) (x - 1) (y + 1) (y - 1) = (x^{2} - 1) (y^{2} - 1)$ 。原式 $= (x^{2} - 1)^{n} (y^{2} - 1)^{n}$ 。 $(x^{2} - 1)^{n}$ 只有 $x^{0}, x^{2}, \dots, x^{2 n}$ 这 $n + 1$ 项，系数 $(i n) (- 1)^{n - i}$ 都不为 $0$ ； $y$ 的部分同样。不同的指数对是不同的单项式，共 $(n + 1)^{2}$ 项。检验： $n = 1$ 时是 $x^{2} y^{2} - x^{2} - y^{2} + 1$ ， $4$ 项。

答案：

$(n + 1)^{2}$ 项。

进阶：组合数的移动

组合数也能移动：分母里的 k+1

$\frac{1}{k + 1} (k n) = \frac{n !}{( k + 1 )! ( n - k )!} = \frac{1}{n + 1} (k + 1 n + 1)$ ，所以分母里的 $k + 1$ 可以吸收进组合数。代入求和得到 $\sum_{k = 0}^{n} (k n) \frac{t ^{k + 1}}{k + 1} = \frac{( 1 + t ) ^{n + 1} - 1}{n + 1}$ ，这里 $\sum$ 表示把 $k = 0$ 到 $k = n$ 的各项加起来。类似地， $n > k$ 时 $(k n) = \frac{n}{n - k} (k n - 1)$ ，比较相近的组合数时，不用展开，用这种比值就够了。

例 5：由和反求 n

正整数 $n$ 满足 $\sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k + 1} (k n) = \frac{31}{5}$ ，求 $n$ 。

怎么看出来：

分母有 $k + 1$ ，先吸收进组合数，再用 $2^{n + 1}$ 的求和结果。

解：

$\frac{1}{k + 1} (k n) = \frac{1}{n + 1} (k + 1 n + 1)$ 。 $k$ 从 $0$ 到 $n$ 时， $(k + 1 n + 1)$ 取遍 $(1 n + 1)$ 到 $(n + 1 n + 1)$ ，它们的和等于 $2^{n + 1} - (0 n + 1) = 2^{n + 1} - 1$ ，因为 $n + 1$ 元集合的子集共 $2^{n + 1}$ 个，去掉空集。所以和 $S_{n} = \frac{2 ^{n + 1} - 1}{n + 1}$ 。 $S_{n + 1} > S_{n}$ ：交叉相乘作差， $(2^{n + 2} - 1) (n + 1) - (2^{n + 1} - 1) (n + 2) = n \cdot 2^{n + 1} + 1 > 0$ 。所以 $S_{n}$ 随 $n$ 严格增大，至多一个解。 $n = 4$ 时 $S_{4} = \frac{31}{5}$ 。

答案：

$n = 4$ 。

真题

按这个方法练 · 7 题

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求展开式中某一项的系数：数每个括号选了什么

展开就是从每个括号里各选一项相乘。设每种项选了几次，列出“总次数”和“总指数”两个方程，把每组解对应的方法数算出来，再相加。

完整讲解 · 例题 · 可练 13 题

一、是什么

展开就是每个括号选一项

$(a + b)^{3} = (a + b) (a + b) (a + b)$ 。每个括号选 $a$ 或 $b$ 相乘，得到一项。 $a^{2} b$ 这一项来自“有 $1$ 个括号选 $b$ ，其余选 $a$ ”，选 $b$ 的括号有 $3$ 种，所以 $a^{2} b$ 的系数是 $3$ 。

选法数怎么算

$n$ 个括号， $a$ 个选第 1 种项， $b$ 个选第 2 种项， $c$ 个选第 3 种项， $a + b + c = n$ 。先在 $n$ 个括号里选 $a$ 个，再在剩下的里选 $b$ 个，其余的都选第 3 种，选法数是 $\frac{n !}{a ! b ! c !}$ 。这里 $n! = n (n - 1) \dots 1$ ，并规定 $0! = 1$ 。例如 $n = 4, a = 2, b = 1, c = 1$ 时是 $\frac{24}{2 \times 1 \times 1} = 12$ 。只有 $2$ 种项时就是组合数 $(a n) = \frac{n !}{a ! ( n - a )!}$ 。

系数和负号要一起乘

如果某种项带系数，选它 $a$ 次，系数也要乘 $a$ 次。例如选 $2 x$ 选了 $3$ 次，贡献 $2^{3} x^{3}$ ；选 $- x$ 选了 $3$ 次，贡献 $(- 1)^{3} x^{3} = - x^{3}$ 。

次数必须是非负整数，0 次也算

方程解出的次数必须是非负整数。某种项一次也不选是允许的，比如 $(x + \frac{1}{x} + 1)^{n}$ 的常数项，全选 $1$ 也是其中一种。

先看一道例题

例 1：缺项且带系数的三项式

求 $(2 + x - x^{3})^{4}$ 中 $x^{4}$ 的系数。

怎么看出来：

每个括号选一项，指数加起来是 $4$ 。这里没有 $x^{2}$ 项，而且 $2$ 和 $- x^{3}$ 带系数，选几次就要乘几次。

解：

设选 $x$ 有 $a$ 次，选 $- x^{3}$ 有 $b$ 次，选 $2$ 有 $c$ 次，则 $a + b + c = 4$ ， $a + 3 b = 4$ 。 $b = 0$ 时 $a = 4, c = 0$ ，方法数 $\frac{4 !}{4 ! 0 ! 0 !} = 1$ ，贡献 $1$ 。 $b = 1$ 时 $a = 1, c = 2$ ，方法数 $\frac{4 !}{1 ! 1 ! 2 !} = 12$ ，系数要乘 $(- 1)^{1} \times 2^{2} = - 4$ ，贡献 $12 \times (- 4) = - 48$ 。 $b \geq 2$ 时 $3 b > 4$ ，没有解。合计 $1 - 48 = - 47$ 。

答案：

$- 47$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
$3$ 项以上的括号求幂，问指定幂的系数	设每种项选几次，列 $2$ 个方程
括号里有 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ ，问常数项	正负指数相互抵消，别漏全选常数的情况
已知某项系数，反求括号里的参数	把系数写成参数的式子，解方程，每个解都代回检查
$2$ 个括号相乘	把目标指数分给 $2$ 个括号（见进阶“几个括号相乘”）
括号里是 $1 + x + \dots + x^{p}$	变成带上限的整数解问题（见进阶“带上限的选择”）
括号里有 $x$	按分数指数列方程（见进阶“分数指数”）

三、怎么用

给每种项取名字并写次数。例如求 $(1 + x^{2} + x^{3})^{4}$ 中 $x^{6}$ 的系数。设选 $x^{2}$ 有 $a$ 次，选 $x^{3}$ 有 $b$ 次，选 $1$ 有 $c$ 次。
写 $2$ 个方程。总次数 $a + b + c = 4$ ，总指数 $2 a + 3 b = 6$ ， $a, b, c$ 都是非负整数。
列出所有解。 $b$ 只能是 $0, 1, 2$ 。 $b = 0$ 时 $a = 3, c = 1$ ； $b = 1$ 时 $2 a = 3$ ，不是整数，舍去； $b = 2$ 时 $a = 0, c = 2$ 。
每组解算方法数。 $(a, b, c) = (3, 0, 1)$ ： $\frac{4 !}{3 ! 0 ! 1 !} = 4$ 。 $(0, 2, 2)$ ： $\frac{4 !}{0 ! 2 ! 2 !} = 6$ 。
相加并检查。系数是 $4 + 6 = 10$ 。这里每种项的系数都是 $1$ ，不用再乘别的数；项带系数或负号时，这一步要乘上（见例 1）。

四、再做一道

例 2：由常数项反求参数

$(x + \frac{a}{x} + 1)^{4}$ 的常数项是 $19$ ，求实数 $a$ 。

怎么看出来：

$x$ 和 $\frac{a}{x}$ 的次数相等时才能抵消。把常数项写成 $a$ 的式子。

解：

设选 $x$ 和选 $\frac{a}{x}$ 各 $p$ 次，其余 $4 - 2 p$ 次选 $1$ ， $p$ 只能是 $0, 1, 2$ 。 $p = 0$ ： $1$ 。 $p = 1$ ：方法数 $\frac{4 !}{1 ! 1 ! 2 !} = 12$ ，系数乘 $a$ ，得 $12 a$ 。 $p = 2$ ：方法数 $\frac{4 !}{2 ! 2 ! 0 !} = 6$ ，系数乘 $a^{2}$ ，得 $6 a^{2}$ 。所以 $6 a^{2} + 12 a + 1 = 19$ ，即 $a^{2} + 2 a - 3 = 0$ ， $(a - 1) (a + 3) = 0$ 。检验： $a = 1$ 时 $6 + 12 + 1 = 19$ ； $a = - 3$ 时 $54 - 36 + 1 = 19$ 。

答案：

$a = 1$ 或 $a = - 3$ 。

五、容易错在哪

通项公式里的 $r$ 是某一种项的选择次数，不一定等于项的序号，第 $r + 1$ 项才对应选 $r$ 次。
常数项不只有正负指数抵消的情况，全部选常数也算，要从次数 $0$ 开始列。
同一个括号的幂，一组次数对应 $\frac{n !}{a ! b ! c !}$ 种选法；几个不同的括号相乘，才是把各括号贡献的系数相乘。两种算法不要混。
带系数或负号的项，选几次就要乘几次。

进阶：几个括号相乘

几个括号相乘：分别选，再配对

$(1 + a x)^{m} (1 + b x)^{n}$ 的某一项，是第 1 部分贡献 $x^{i}$ 、第 2 部分贡献 $x^{j}$ ， $i + j$ 等于目标指数。每个 $i$ 算一次再相加。两个变量分开时，比如 $(1 + x)^{m} (1 + y)^{n}$ 的 $x^{i} y^{j}$ ，两边各算各的，系数相乘。

例 3：由系数为零求参数

$(1 + a x)^{3} (1 - x)^{4}$ 中 $x^{2}$ 的系数为 $0$ ，求实数 $a$ 。

怎么看出来：

$2$ 个括号相乘，把指数 $2$ 分给它们，有 $3$ 种分法。

解：

$(1 + a x)^{3}$ 的 $1, x, x^{2}$ 系数依次是 $1, 3 a, 3 a^{2}$ 。 $(1 - x)^{4}$ 的 $1, x, x^{2}$ 系数依次是 $1, - 4, 6$ 。 $x^{2}$ 的系数是 $1 \times 6 + 3 a \times (- 4) + 3 a^{2} \times 1 = 3 a^{2} - 12 a + 6$ 。令它为 $0$ ，得 $a^{2} - 4 a + 2 = 0$ ，所以 $a = 2 \pm 2$ 。

答案：

$a = 2 \pm 2$ 。

进阶：带上限的选择

每种选法有上限

$(1 + x + \dots + x^{p}) (1 + x + \dots + x^{q}) (1 + x + \dots + x^{r})$ 的 $x^{m}$ 系数，等于 $i + j + k = m$ ， $0 \leq i \leq p$ ， $0 \leq j \leq q$ ， $0 \leq k \leq r$ 的解数。没有上限时，解数是 $(2 m + 2)$ ，因为 $m$ 个球和 $2$ 块隔板排成一行，隔板位置有 $(2 m + 2)$ 种。有上限时，再减去超限的解：若 $i > p$ ，令 $i^{'} = i - p - 1 \geq 0$ ，就变成和为 $m - p - 1$ 的无上限问题（ $m - p - 1 < 0$ 时没有解）。如果 $m > p + q + r$ ，系数是 $0$ 。如果 $m \leq p + q + r$ ， $3$ 个变量不可能同时超限，因为那样和至少是 $p + q + r + 3$ ；这时只要减去单个变量超限的解，再把 $2$ 个变量同时超限、被减了 $2$ 次的解加回来。上限很小时，直接枚举更快。

例 4：各括号的上限不同

求 $(1 + x + x^{2} + x^{3}) (1 + x + x^{2}) (1 + x)$ 中 $x^{3}$ 的系数。

怎么看出来：

每个括号选一个幂，指数和为 $3$ ，上限分别是 $3, 2, 1$ 。上限很小，直接枚举。

解：

求 $i + j + k = 3$ 的解数， $0 \leq i \leq 3$ ， $0 \leq j \leq 2$ ， $0 \leq k \leq 1$ 。 $k = 0$ 时 $i + j = 3$ ， $j = 0, 1, 2$ 对应 $i = 3, 2, 1$ ， $3$ 组。 $k = 1$ 时 $i + j = 2$ ， $j = 0, 1, 2$ 对应 $i = 2, 1, 0$ ， $3$ 组。合计 $6$ 。

答案：

$6$ 。

进阶：分数指数 · 先修：分数指数幂

分数指数也一样列方程

$x = x^{1/2}$ ， $\frac{1}{x} = x^{- 1/2}$ 。总指数方程照样列，只是要注意指数可能不是整数。

例 5：整数次幂有几项

$(x - \frac{1}{x})^{6}$ 的展开式中， $x$ 的指数是整数的项有多少项？

怎么看出来：

有 $x$ ，指数可能是分数。写出总指数和选法次数的关系。

解：

设选 $- \frac{1}{x}$ 有 $r$ 次， $r = 0, 1, \dots, 6$ ，其余 $6 - r$ 次选 $x$ 。总指数是 $\frac{6 - r}{2} - r = 3 - \frac{3}{2} r$ ， $r$ 为偶数时才是整数，所以 $r = 0, 2, 4, 6$ 。对应的系数 $(r 6) (- 1)^{r}$ 都不为 $0$ ，指数 $3, 0, - 3, - 6$ 互不相同，所以有 $4$ 项。

答案：

$4$ 项。

进阶：系数随 n 变化 · 先修：数列求和

系数里还有 n：写成式子后裂项

$(1 + x)^{n}$ 的 $x^{2}$ 系数是 $(2 n) = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ （ $n \geq 2$ ）。因此 $\frac{1}{( 2 n )} = \frac{2}{n ( n - 1 )} = 2 (\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n})$ 。把这样的式子相加时，中间的项一正一负抵消，只剩首尾，这叫裂项。

例 6：求和超过指定值

记 $b_{n}$ 是 $(1 + x)^{n}$ 中 $x^{2}$ 的系数， $n \geq 2$ 。求使 $\frac{1}{b _{2}} + \frac{1}{b _{3}} + \dots + \frac{1}{b _{N}} > 1.9$ 成立的最小整数 $N$ 。

怎么看出来：

先写出 $b_{n}$ ，分母是相邻整数的积，可以裂项。

解：

$b_{n} = (2 n)$ ，所以 $\frac{1}{b _{n}} = 2 (\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n})$ 。相加时中间抵消： $\sum_{n = 2}^{N} \frac{1}{b _{n}} = 2 (1 - \frac{1}{N})$ ，这里 $\sum$ 表示把 $n = 2$ 到 $n = N$ 的各项加起来。解 $2 - \frac{2}{N} > 1.9$ ，得 $\frac{2}{N} < 0.1$ ， $N > 20$ 。检查 $N = 20$ ：和恰好是 $1.9$ ，不大于 $1.9$ 。所以最小是 $21$ 。

答案：

$N = 21$ 。

真题

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把周期权写成幂，用单位根筛下标

复数 $i$ 满足 $i^{2} = - 1$ ，实部是 $a + bi$ 中的 $a$ 。把二项式输入换为 $i$ ， $i^{k}$ 就编码四步循环的正负与实虚部；只要取实部便可得到某些交错系数和。

完整讲解 · 例题 · 可练 7 题

一、是什么

四步周期的编码

$i^{0}, i^{1}, i^{2}, i^{3}$ 依次为 $1, i, - 1, - i$ ，之后每四项重复。因此 $(1 + i)^{n}$ 的实部为 $(0 n) - (2 n) + (4 n) - \dots$ 。虚部为奇下标的交错和。求实部时不能只留下模长，因为方向会改变符号。

两个根筛奇偶

满足 $z^{m} = 1$ 的复数叫 $m$ 次单位根。 $\sum (k n) = 2^{n}$ ， $\sum (- 1)^{k} (k n) = 0$ （ $n \geq 1$ ），相加后奇下标抵消，偶下标各出现两次。因此偶下标和为 $2^{n - 1}$ 。这是用 $1, - 1$ 两个平方为一的根筛选下标。

三个根筛余数

令 $ω = (- 1 + 3 i) /2$ ，则 $ω^{3} = 1$ ， $1 + ω + ω^{2} = 0$ 。 $1 + ω^{k} + ω^{2 k}$ 在 $3 ∣ k$ 时为 $3$ ，否则为零。所以把 $P (1), P (ω), P (ω^{2})$ 相加再除以 $3$ ，得到 $P$ 中三的倍数下标系数和。一般余数类还要乘相应的根的负幂作权，先展开核消去规律。

先看一道例题

例 1：交错偶下标和

求 $(0 4) - (2 4) + (4 4)$ 。

怎么看出来：

这是 $(1 + i)^{4}$ 的实部。

解：

$(1 + i)^{2} = 2 i$ ，所以 $(1 + i)^{4} = - 4$ ，实部为 $- 4$ 。直接核 $1 - 6 + 1 = - 4$ 。

答案：

$- 4$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
偶下标交错加减	取 $(1 + i)^{n}$ 的实部
筛奇偶下标	组合 $P (1)$ 和 $P (- 1)$
筛三的倍数下标	加三个单位根取值再除三

三、怎么用

把权重列出一个完整周期。
选择幂能产生该周期的复数。
对完整二项式取值，按目标取实部或求和。
核筛选重数并检查常数项和末项。

四、再做一道

例 2：偶下标全部相加

求 $(0 5) + (2 5) + (4 5)$ 。

怎么看出来：

用正负一筛偶下标。

解：

所求为 $((1 + 1)^{5} + (1 - 1)^{5}) /2 = 32/2 = 16$ 。核 $1 + 10 + 5 = 16$ 。

答案：

$16$ 。

五、容易错在哪

模长不保留实部的正负，取实部前不能丢相位。
筛选后每个目标系数出现根数那么多次，必须除以根数。

进阶：更多例题

例 3：三的倍数下标

求 $(0 6) + (3 6) + (6 6)$ 。

怎么看出来：

三个单位根值相加后除三。

解：

$1 + ω = - ω^{2}$ ，故 $(1 + ω)^{6} = 1$ ，同样 $(1 + ω^{2})^{6} = 1$ 。所求为 $(2^{6} + 1 + 1) /3 = 22$ 。常数项和最高项均入选，直接核 $1 + 20 + 1 = 22$ 。

答案：

$22$ 。

真题

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先分清总和取模和逐系数取模，再按数位拆

$a \equiv b (mod m)$ 表示 $m$ 整除 $a - b$ ，也就是二者除以 $m$ 的余数相同。系数和的大幂余数只需先求总和；逐系数的余数分布则必须保留每个系数的信息。

完整讲解 · 例题 · 可练 4 题

一、是什么

先取值再约化幂

全系数和令输入为一。若得到 $b^{N} (mod m)$ ，可先寻找正整数 $T$ 使 $b^{T} \equiv 1$ ，再把指数除以 $T$ 约化。没有证明这样的周期时不能随便减指数，特别是底数与模不互素时。

素数下的数位分解

$p$ 为素数时， $1 \leq k \leq p - 1$ 的 $(k p)$ 都被 $p$ 整除，故 $(1 + x)^{p} \equiv 1 + x^{p} (mod p)$ 。将 $n$ 写成 $p$ 进制数位 $n = \sum n_{j} p^{j}$ ，便有 $(1 + x)^{n} \equiv \prod_{j} (1 + x^{p^{j}})^{n_{j}}$ 。

读出每位局部系数

每个因子选择次数 $k_{j}$ 满足 $0 \leq k_{j} \leq n_{j} < p$ ，这些位不会进位，故给定下标 $k = \sum k_{j} p^{j}$ 的系数等于 $\prod_{j} (k _{j} n _{j}) (mod p)$ ；若某位 $k_{j} > n_{j}$ ，该系数为零。统计各局部余数的乘积，再核各余数类个数之和为 $n + 1$ 。模数合成数时不能直接用这个素数结论。

先看一道例题

例 1：总和的大幂余数

求 $(1 + x)^{10}$ 的所有系数之和除以 $7$ 的余数。

怎么看出来：

先令输入为一，得到 $2^{10}$ 。

解：

$2^{3} = 8 \equiv 1 (mod 7)$ ， $10 = 3 \cdot 3 + 1$ ，故 $2^{10} \equiv 2 (mod 7)$ 。直接 $1024 = 7 \cdot 146 + 2$ 。

答案：

$2$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
只问系数和的余数	先输入一，再算底数幂周期
问整行有几个奇数系数	在模二下按二进制拆
问模素数的各类分布	逐位小系数相乘统计

三、怎么用

确定是在总和后取模还是逐系数取模。
总和先取值，分布则拆素数进制数位。
核幂周期或每位允许的下标。
合计各余数类，检查共有 $n + 1$ 个系数。

四、再做一道

例 2：第十三次展开的奇偶

在 $(0 13), \dots, (13 13)$ 中，有几个奇数、几个偶数？

怎么看出来：

十三的二进制是 $1101$ 。

解：

模二有 $(1 + x)^{13} \equiv (1 + x) (1 + x^{4}) (1 + x^{8})$ 。每个因子选或不选高次项，共 $2^{3} = 8$ 个互不相同下标： $0, 1, 4, 5, 8, 9, 12, 13$ ，系数均奇。全部 $14$ 个系数，所以偶数有 $6$ 个。

答案：

奇数 $8$ 个，偶数 $6$ 个。

五、容易错在哪

总和的余数不能代替每个系数的余数分布。
数位分解公式依赖素数模；统计后要核所有类别总数等于全部系数个数。

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例 3：模三分布

统计 $(0 5), \dots, (5 5)$ 模 $3$ 的余数分布。

怎么看出来：

五的三进制为 $12$ 。

解：

模三展开 $(1 + x)^{5} \equiv (1 + 2 x + x^{2}) (1 + x^{3})$ 。六个系数的余数依次为 $1, 2, 1, 1, 2, 1$ ，故零类 $0$ 个、一类 $4$ 个、二类 $2$ 个，和为 $6$ 。直接核原系数 $1, 5, 10, 10, 5, 1$ ，一致。

答案：

余数 $0, 1, 2$ 的个数分别为 $0, 4, 2$ 。

真题

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误区对照

容易误以为

$(2 + x)^{4}$ 中 $x^{2}$ 的系数就是 $(2 4) = 6$ 。

应当这样想

还须乘剩余两次选择常数 $2$ 的贡献，系数为 $(2 4) 2^{2} = 24$ 。

为什么

组合数只记录选择位置，不能省略各位置所选项的系数。

容易误以为

$(x + 2 + x^{- 1})^{3}$ 中常数项只能由三个 $2$ 相乘得到，为 $8$ 。

应当这样想

还可各取一次 $x$ 与 $x^{- 1}$ 、一次 $2$ ，有 $3! \cdot 2 = 12$ ；总计二十。也可写为 $x^{- 3} (x + 1)^{6}$ 取 $x^{3}$ 系数。

为什么

指数相加为零不意味着每个因式都取零次项；负幂可与正幂抵消。

概念自测

先想清楚，再确认判断。这些自测只帮助辨清概念，不计入真题做对率。