同一骨架 2024 年内蒙古预赛 · P006559
两题都可先把固定端点之间的张角或垂直关系还原为圆上的动点，再把最远距离转为圆心距与半径的关系。
一题由两个向量和的数量积为零出现直径圆；另一题由固定弦的张角得到圆弧。可行弧是否包含最远方向要分别核查。
培玉 · 一试
2026 年湖南预赛
F3填空题向量的数量积与几何意义
在 中，。动点 满足
则 的最大值是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
把 取为向量原点后，两组向量和都含有 。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
令新点 满足 ，数量积条件便成为以 为直径的圆， 所求距离也只差一个固定倍数。
解答
以 为原点，记 的位置向量分别为 ，并令点 的位置向量为 。题设化为
因此 ，点 在以 为直径的圆上。
该圆的圆心位置向量为 ，半径为 。由余弦定理，
而
故点 到该圆上点的最大距离为
又 ，所以
复核
圆上离 最远的点位于圆心背向 的射线上，确能取到上述距离；由 可唯一还原合法点 ，故上界可达。
方法总结
向量和的数量积为零常可通过倍点代换化成垂直关系；若得到 ，应立即识别为以 为直径的圆， 再用“点到圆的最大距离等于点到圆心距离加半径”求最值。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
把2P视作新点后，两个向量和正交化成以BC为直径的圆轨迹，随后用圆心距离与半径求最远点再缩回。
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同一骨架 2025 年贵州预赛 · P006271
两题都利用中点与半径把复杂向量条件化成以两点为直径的圆形约束。中心平移与尺度换元之后，原条件能用简单模长表达；嵌套时要保留端点关联，求距离最值时则保留尺度因子。
一个允许在圆盘内逐层仿射组合，另一个经倍点换元落在圆周上；圆盘与圆周及退化端点要分清。
同一骨架 2025 年福建预赛 · P006326
两题都把点积或垂足的正交关系转成以两固定点为直径的圆形约束。找到中点、半径与必要尺度之后，原本的动点最值或定长问题变成简单的圆几何。
前题先由抛物线参数锁定弦族定点，再研究垂足；后题先作倍点换元，最后的距离必须除回原尺度。
同一骨架 2025 年北京预赛 · P006201
固定端点的数量积通过中点配方变成到定点的距离平方，可行点集决定最后使用投影还是圆心距离。
前题动点在整个仿射平面内，投影足给最近点；后题先倍点代换得到直径圆，在圆上取最远点，并须还原倍点。
已记下，谢谢！