培玉 · 一试
2023 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 2 题
F1填空题幂指对
若实数 满足 ，则 的值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
先统一最外层幂的底数，再利用指数函数的严格单调性逐层比较指数。
解答
由
得 。再次比较指数，得 ，因此
复核
代入 ，等式两端分别为 和 ，确实相等。两次比较指数都使用了底数 对应指数函数的单射性。
方法总结
嵌套指数方程先从最外层统一底数，逐层消去指数运算，注意保留原有指数层次。
为什么评为 F1（会透露解法方向）
将4写成2的幂后，重复使用同底指数函数的单射性即得m=1+2m，没有额外模型识别或条件分支，属于指数基本操作的直接运用。
已记下，谢谢！