2022 年中科大少年班初试 · 第 4 题

解答

设 $n\ge 1$，圆周上的点独立且按弧长均匀。对第 $i$ 个样本点 $A_i$，令 $E_i$ 表示其余 $n-1$ 个点都在以 $A_i$ 为起点的顺时针半圆内。固定 $A_i$ 后，独立性给

若所有点可由某半圆覆盖，就可将该半圆的起点沿圆周移到它覆盖的第一个样本点，从而至少一个 $E_i$ 成立。反之，$E_i$ 成立显然给出覆盖半圆。

若两个不同的 $E_i,E_j$ 同时成立，则 $A_j$ 在 $A_i$ 的顺时针半圆内，$A_i$ 也在 $A_j$ 的顺时针半圆内；两方向的间隔和为整圆，故两点只能对径或重合。这些事件概率为零。因此各 $E_i$ 几乎处处互斥，所求为