2026 年福建预赛

解答

记双曲线的半焦距为 $c$。由离心率为 $\sqrt{5}$，

（1） 设 $P{F}_1=u,P{F}_2=v$。因为 $P{F}_1\perp P{F}_2$， $△P{F}_1{F}_2$ 是以 $F_1{F}_2=2c$ 为斜边的直角三角形，故

双曲线的定义又给出 $|u-v|=2a$，于是

即 $u+v=6a$。直角三角形的内切圆半径等于两直角边之和减去斜边后的一半， 所以

因 $3-\sqrt{5}>0$，得 $a=1$。由（1）知 $b=2$，故

（2） 对平面向量 $X=(x_X,y_X)$，记

于是 $Q(X+Y)=Q(X)+Q(Y)+2⟨X,Y⟩$。把点也记作其位置向量， 题设给出 $D=B+4A$，且 $Q(A)=Q(B)=Q(D)=1$。因此

从而

设 $A=(x_1,k{x}_1+m),B=(x_2,k{x}_2+m)$。将直线方程代入双曲线得

因直线与双曲线有两个交点，$k^2\ne 4$。由韦达定理，

代入双线性积，化简得

结合（2），得到

由于 $k\ne 0$，由（4）有 $m^2<2$；又 $m=0$ 会迫使 $k^2=4$，与（3） 有两个交点矛盾。因此必要条件为

反过来，任取满足（5）的 $m$，令 $k=\pm \sqrt{4-2m^2}$。此时 $0<k^2<4$，且（3）的判别式为

故确有两个交点 $A,B$。由（4）反推（2），再令 $D=B+4A$，便有 $Q(D)=1$。所以（5）也是充分条件，即

最后求面积。由 $\overrightarrow{BD}=4\overrightarrow{OA}$，四边形 $OADB$ 是两底 $OA,BD$ 平行且长度比为 $1:4$ 的梯形，故

又

由（3）的判别式及（4），

故 $|\det (A,B)|=2\sqrt{3}$。代入（6），得到