易混 2018 年陕西预赛 第 8 题 · P010675
把差向量数量积写成动点坐标的二次式后，极值与等值点计数是两类任务。逐边的凸性可把最大值推到顶点；要数指定水平上的不同点，却必须保留每条边的内部交点并在顶点去重。
前题在正八边形边界求最大值，逐边只查两个端点足够；后题把等值线化为同心圆，切边和经过顶点时的点数要单列。
培玉 · 一试
2024 年甘肃预赛
F3填空题向量的数量积与几何意义
点 是边长为 的正八边形 边上的动点，则 的最大值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
把点积写成关于点 坐标的二次函数。
思路
它在每条边上是凸函数，所以边界最大值必在某个顶点取得。
解答
设正八边形中心为原点，外接圆半径为 。由边长为 ，
对位置向量仍记作 ，有
当 在任一条边上作线性运动时，式（1）是凸二次函数，故该边上的最大值在端点取得。依次把八个顶点代入，所得值为
因此最大值为
复核
顶点属于题目所说的“边上”；每条边均已由两个端点控制，故没有遗漏边内部可能的点。
方法总结
多边形边界上的二次式极值，可先逐边参数化；凸二次函数取最大值时只需检查各顶点。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需先证明每条边内部的数量积是凸二次函数，才能把连续动点范围缩成八个顶点并比较。
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