2014 年辽宁预赛 · 第 6 题

解答

球与切线仅交于 $P$，所以 $OP\perp l$。在过 $P$ 垂直 $l$ 的平面内取两半平面的单位径向为 $e_1=(1,0),e_2=(-\sqrt{3}/2,1/2)$，其夹角为 $150^{\circ }$。截圆与 $l$ 同在 $P$ 处相切，两个圆心沿这两正射线，距 $P$ 分别为一和 $\sqrt{3}$。球心向量记为 $(x,y)$，其在两径向上的正交投影给 $x=1,-\sqrt{3}x/2+y/2=\sqrt{3}$，得 $(x,y)=(1,3\sqrt{3})$。球半径为 $OP$，故 $\boxed{R=\sqrt{1+27}=2\sqrt{7}}$，选 B。