2017 年中科大少年班初试 · 第 13 题

解答

韦达关系等价于

若 $c=0$，则 $b=-2a$ 且 $b(a-1)=0$，得两组 $(0,0,0)$、$(1,-2,0)$。 若 $c\ne 0$，则 $a\ne 0$、$b=-1/a$、$c=1/a-2a$。代入第二式并乘 $a^2$，整理得

其中 $a=1$ 给出 $(1,-1,-1)$。记 $h(a)=2a^3+2a^2-1$，有 $h^{\prime }(a)=2a(3a+2)$。它在 $(-\infty ,-2/3)$ 递增、$(-2/3,0)$ 递减、$(0,+\infty )$ 递增，而 $h(-2/3)=-19/27<0$、$h(0)=-1$，故只存在一个实根 $\alpha >0$。并且 $h(1/2)<0<h(1/\sqrt{2})$，所以 $\alpha \in (1/2,1/\sqrt{2})$，此时 $c=1/\alpha -2\alpha >0$，确属非零支。这给出第四组 $(\alpha ,-1/\alpha ,1/\alpha -2\alpha )$。 上述韦达条件反向保证原多项式等于 $(x-a)(x-b)(x-c)$，所以每一组均合法，且没有重合。故数组共有 $\boxed{4}$ 组。