垫脚石（相关题 → 此题） 2021 年山东预赛 · P005929
先用每个缺一项乘积等于总乘积除以被漏元素，练习从全部乘积恢复原数。出现重复乘积后，必须先补回每个数实际出现的次数，再利用完全幂的素数指数筛选重数。
前题给出的不同乘积已完整对应各个缺项，后题的集合表示隐藏了一个重复值。
培玉 · 一试
2024 年广西预赛
F3填空题数论
设 均是正整数，且
则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
四个下标产生四个三元积，但题目右边只有三个不同元素，因此恰有一个三元积重复。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
把四个三元积全部相乘后，每个 恰出现三次，可用完全立方数的质因数指数确定 重复的是哪一个数，再反求各个 。
解答
令
四个 正是题目中的四个三元积。由于它们的不同取值集合为 ，其中每个数至少出现一次，故有一个数 恰好出现两次。
另一方面，每个 在 中出现三次，所以
而
若 ，右边为 ；若 ，右边为 ，二者都不是完全立方数。只有当 时，
因此
由 ，可知
所以
复核
对 取任意三个数，所得四个乘积为 ，去重后恰为 。另枚举所有可能的正整数四元组可得，除排列顺序外只有这一组数， 其和恒为 。
方法总结
当若干乘积以集合形式给出时，要先区分“下标组合的个数”和“不同乘积的个数”，并恢复 可能的重数。把所有缺一项乘积相乘，会使每个原变量以相同次数出现；结合完全幂的质因数 指数，常可先确定总乘积及重数，再逐项反求原数。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
关键是将四个三元积重新赋予重数并相乘为P³，由完全立方数确定重复值36后反求原数。
联系 · 2 条
易混 2024 年北京预赛 · P005917
两题都将固定大小子集的乘积再整体相乘，利用每个原元素出现次数相同恢复总乘积。关键区别是集合会消掉重复值：必须先核下标组合数与不同乘积数，才能决定怎样使用重数。
一题的三元积恰好全部互异，另一题必有重复积；直接把右侧集合元素各乘一次，只在前一种情形有依据。
已记下，谢谢！