2022 年全国高中数学联赛一试（A2 卷） · 第 5 题

解答

双曲线的焦点为 $F_1=(-2,0)$，$F_2=(2,0)$。设 $P=(x_1,y_1)$，由已知数量积，

得 $x_1=2$。代入双曲线，有 $y_1^2=9$。 关于 $x$ 轴反射不改变数量积，故可取 $P=(2,3)$，直线 $l$ 为 $y=3(x+2)/4$。 代入双曲线得 $13x^2-12x-28=0$，其中一个根为 $2$，另一根为 $-14/13$，所以

故所求数量积为 $0\cdot (-40/13)+3\cdot (9/13)=\boxed{27/13}$。