同一骨架 2026 年湖南预赛 · P006040
两题都先取两个正量的比值以消去尺度，把关键条件压到一个正参数上。比例与尺度的角色要分开：先完成控制比例的极值，再检查其余条件能否恢复为合法原对象。
一题借半角和恒等式把第三个余切平方写成比值式，另一题先确定齐次比值取最大时的比例，再对剩余尺度另作最小化。
培玉 · 一试
2026 年广州预赛
齐次约束下的分式最值
F3填空题不等式的证明
设 满足
当 取最大值时， 的最小值为 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
先利用约束消去 。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
比值 是齐次的，只由 决定；确定其最大值的等号条件后， 剩余表达式再化成关于 的二次函数。
解答
由约束式，
令 ，则
由于
该比值在 时取得最大值。因此 ，并且
此时
令 ，则
故所求最小值为
复核
当 、、 时，三个数均为正，约束式成立，且 、目标式等于 。两个最值的等号条件可以同时满足。
方法总结
齐次约束中的比值最值先用比例变量降维；比例确定后仍保留一个尺度变量，再用倒数代换把 分式目标化为普通二次函数。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
先由t=x/y确定xy/z取最大时的比例x=3y，必须在该等号约束下再作1/y换元，不能把两个最值独立求。
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同一骨架 2024 年北京预赛 · P006418
两层最值要按顺序处理：先由第一层极值锁定变量的比例，再留下一个尺度参数；第二层把尺度取倒数后配方，并核对两次取等能同时成立。
前题以齐次比值确定方向；后题由正定二次型上一个线性式的支撑方向确定比例，尺度允许的符号也不同。
已记下，谢谢！