2013 年中科大少年班初试 · 第 2 题

解答

令 $S=(x+y)/2,D=(x-y)/2$。由和差化积得 $2\sin S\cos D=1/3$、$-2\sin S\sin D=1/5$。平方相加得 $4{\sin }^{2}S=1/9+1/25=34/225$，所以 $\cos (x+y)=1-2{\sin }^{2}S=\boxed{208/225}$。两式的第一条非零，保证 $\sin S$ 与 $\cos D$ 非零，故 $\tan D=-3/5$，从而 $\sin (x-y)=2\tan D/(1+{\tan }^{2}D)=\boxed{-15/17}$。