易混 2023 年吉林预赛 · P005919
题面都有二次式和集合关系，但一个集合由方程的根组成，另一个由满足不等式的整数点组成。前者要控制根的位置，后者要数通过阈值的整数，不能把“两个元素”一律理解成两个端点。
先认清集合的元素是谁，再决定比较根还是比较相邻整数的进入时刻。
培玉 · 一试
2023 年甘肃预赛
F3填空题集合与简易逻辑
设集合
若 ，则 的取值范围是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
条件 等价于二次方程的两个实根都落在区间 内。
思路
把方程除以 ，用参数 控制两根的端点位置。
解答
先解不等式，得
令 ，则 ，集合 中的两个根为
两根都在 中当且仅当
第一式等价于
第二式等价于
因此
代回 ，得到
复核
当 时正根恰为 ；当 时负根恰为 ，两个端点都应计入。 已由题设排除。
方法总结
集合包含关系若由参数二次方程给出，可先求目标区间，再用较小根和较大根分别卡住左右端点。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需将交集等于A翻译为两异号根都在固定区间，再以3/a求完整参数域并正确反换负正两支。
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易混 2022 年福建预赛 · P006803
两题都用二次式约束参数，但整数域与实数域的要求不同。整数点上恒非负可以容许实数负区间里没有整数；实根集被包含在给定区间时，则必须控制真实两根的位置，不能用几个整数的代入代替。
是否只检查整数，是选择判别式分支或连续根区间分析前必须辨认的条件。
已记下，谢谢！