培玉 · 一试
2015 年山西预赛 · 第 5 题
F2填空题椭圆
设椭圆 （）的两个焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，若焦点到椭圆上的点的最短距离为 ，则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
用正三角形确定焦半径与半长轴的关系，再用焦点到椭圆的最近距离。
解答
记焦半距为 ，短轴端点到任一焦点的距离为 。正三角形条件给 ，从而 。焦点到椭圆上点的距离最小为 ，故 。因此
复核
对焦点(c,0)，椭圆参数点(a cos t,b sin t)的距离是a-c cos t，最小a-c确在同侧长轴端点取得；得到a>b>0。
方法总结
先用形状求比例，再用距离定尺度。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
需用正三角形确定焦半径与半长轴的关系，再用焦点到椭圆的最近距离。 需完成转化、求解及边界反验。
已记下，谢谢！