2022 年北京预赛

解答

所有分母均非零。

当 $|x|=1$ 时，

枚举 $9$ 的正负整数因子，排除使分母为零的情形，得到

共 $5$ 组；$x=\pm 1$，故贡献 $10$ 组。

当 $|x|=2$ 时，

若一正一负，和不可能大于 $1$；若均为正，则至少一个等于 $1$，从而

这对 $x=\pm 2$ 共贡献 $4$ 组。

当 $|x|\ge 3$ 时，

同理 $y,z$ 均为正且至少一个等于 $1$。若 $y=1$，则

于是 $x^2-3$ 必须整除 $9$；但 $|x|\ge 3$ 时 $x^2-3\ge 6$，不存在这样的平方 $x^2$。交换 $y,z$ 也一样。

综上，整数解共有

组。