2009 年河南预赛 · 第 12 题

解答

取 $P=(0,0,0),A=(a,0,0),B=(0,b,0),C=(0,0,c)$，其中 $a,b,c>0$，记 $u=1/a,v=1/b,w=1/c$。底面法向为 $(u,v,w)$，三侧面为坐标面，实际内部二面角均为锐角，有 $\tan {\theta }_1=\sqrt{u^2+v^2}/w$，其余两式循环置换。因此 $(\tan {\theta }_1\tan {\theta }_2\tan {\theta }_3{)}^2=(u^2+v^2)(v^2+w^2)(w^2+u^2)/(u^2{v}^2{w}^2)\ge 8$，等号当且仅当 $u=v=w$。故 $\boxed{\tan {\theta }_1\tan {\theta }_2\tan {\theta }_3\ge 2\sqrt{2}}$。若三正切之和为 $3\sqrt{2}$，由均值不等式又有三者乘积至多 $(\sqrt{2}{)}^3$，所以两处同时等号，迫 $a=b=c=t$。底面正三角形边长 $\sqrt{2}t$，面积 $\sqrt{3}{t}^2/2=4\sqrt{3}$，得 $t=2\sqrt{2}$。于是 $\boxed{V=abc/6=8\sqrt{2}/3}$。