2019 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 7 题

解答

半径 $r>0$。由圆方程，$b^2=r^2-(a-r-1{)}^2$，所以 $b^2-4a=r(r-4)-(a-r+1{)}^2$。若存在满足条件的点，右边须非负，从而 $r(r-4)\ge 0$；结合r正，必有 $r\ge 4$。当 $r=4$ 时取 $(a,b)=(3,2\sqrt{3})$，有 $(a-5{)}^2+b^2=16$ 且 $b^2=4a=12$，故此点在圆上并满足条件。所求最小半径为 $\boxed{4}$。