同一骨架 2026 年吉林预赛 · P006047
把圆上的相邻顶点之间的弧段当作变量，整周就提供了一个固定总量。弦长或角度条件随后转成对这些弧段的约束；先用这层表示，再处理半径或计数。
重复边长的内接多边形与随机取点的三角形，都能从圆周间隔入手。
培玉 · 一试
2026 年上海预赛
交替边长圆内接六边形的外接圆半径
F3填空题平面几何综合
在圆内接六边形 中，
则其外接圆的半径为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
同一圆中等弦所对的圆心角相等。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
六条边交替取两个长度，因此只需设两种半圆心角， 利用它们的和以及弦长公式消元。
解答
设弦长 所对的小圆心角分别为 ，外接圆半径为 。 由于每种弦长都出现三次，若某一相邻顶点所对的是同弦的优弧，则该角与另外两条 同长边所对的正圆心角之和已经超过 ，不可能是六个圆心角的一部分。 故六条边所对的均为小圆心角。 六个圆心角之和为 ，故
由弦长公式，
于是 ，且 。再由 ，得到
因此
从而
复核
，所以上述余弦和平方根均取正值。代回可得 ，并有 ，两种弦长同时满足。
方法总结
圆内接多边形给出重复弦长时，可按弦长合并圆心角，再以 把角度和转成半径方程。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
先排除相邻弦采用优弧的可能，三组重复边长才给两半圆心角之和60度，随后用和角消去角度定半径。
联系 · 2 条
同一骨架 2024 年江苏预赛 · P006533
边长给定而圆的大小未知时，两题都把每条边当作同一圆的弦，用角度把它们联系起来。先用内接图形的角度总关系消去局部角，再确定共同的尺度。
四边形利用对角关系，六边形利用重复弦长与整周关系；共同点是所有边共享一个圆。
已记下，谢谢！