2025 年中科大少年班入围考 · 第 16 题

解答

可写 $A=0,D=2u,B=v,C=v+u,P=w$，其中 $u,v$ 在底面独立，$w$ 不在底面。$E=u+w/2$，所以平面 $EAB$ 由 $u+w/2,v$ 张成。令 $F=(1-t)w+t(v+u)$，属于此平面要求 $1-t=t/2$，故 $t=2/3$，$F$ 到底面高是原锥高的三分之一。又 $△BCA$ 与梯形底面之面积比为 $1:3$，因此体积比为九分之一。原四棱锥体积为一，得到 $\boxed{V_{F-BCA}=1/9}$。