培玉 · 一试

专题地图 › 递推数列

2023 年山东预赛

F3填空题递推数列

数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，

a_{n + 1} = 1 + \frac{2}{a _{n}} (n = 1, 2, \dots),

那么 $a_{n} =$ 。

作答

分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。

解析

为什么评为 F3（会透露解法方向）

关键是将a_n看成相邻辅助项之比，把分式递推转成p_(n+1)=p_n+2p_(n-1)；之后解两个特征根与初值为成熟方法。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：递推换元化成线性

专题卡：线性递推求通项：一阶减不动点，二阶用特征根、分式递推求通项：取倒数，把它变成等差或等比数列