2025 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 11 题

思路

正弦在 $[0,\pi /2]$ 上位于端点连线之上，故 $\sin u\ge 2u/\pi$；可由二阶导数 $-\sin u\le 0$ 说明凹性。折角利用 $|\sin (k\pi \pm u)|=\sin u$，整数倍角的绝对值也保持。

想法从哪来：先利用已知非零条件去分母，而不是反复把正弦放大或缩小。将两个正弦绝对值记作 $A,B$，多倍角记作 $C$ 后，目标变成 $m(A+B)+C/A+C/B>1$。其中 $mB$ 与 $C/B$ 都只依赖角 $n\alpha$，值得先研究它们能否同时很小。 当原角离整倍 $\pi$ 很近时，倍角尚未越过对称位置，可以用正弦的图像比较，保证比值不小；原角离零较远时，正弦本身的下界反而足够。于是把角折回第一象限，并以 $\pi /(m+1)$ 分段。辅助结论只需非严格不等号，最后严格性由其余正项补出；这样也能自然覆盖 $m=1$ 和多倍角正弦为零的情形。

去掉正分母后，需要把 $|\sin n\alpha |$ 和 $|\sin mn\alpha |$ 联系起来。先证明：前者乘以 $m$ 与两者的比值中至少有一个不小于 $1$。