2015 年湖北预赛 · 第 13 题

解答

设 $A=(u,v)$，$u=2v-13\ne 0$。抛物线切点参数可写成 $(2t^2,4t)$，切线为 $x-ty+2t^2=0$。过 $A$ 给 $2t^2-vt+u=0$，判别式 $(v-8{)}^2+40>0$，两参数非零。（1）接触弦是 $vy=4(x+u)$，即 $x=13+v(y/4-2)$，所以恒过 $\boxed{(13,8)}$。（2）两切线纵轴截距为 $2t_1,2t_2$，其和为 $v$、积为 $2u$。三角形外接圆因而为 $x^2+y^2-(u+2)x-vy+2u=0$。代 $u=2v-13$，成为 $x^2+y^2+11x-26+v(4-2x-y)=0$，可见它恒过 $\boxed{(2,0),(-1,6)}$ 两点。其半径平方为 $((u-2{)}^2+v^2)/4=(5(v-6{)}^2+45)/4$，故 $\boxed{R_{\min }=3\sqrt{5}/2}$。