垫脚石（相关题 → 此题） 2026 年江苏预赛 · P006067
先练习把线性同余化为一个可逆系数的方程，并核每个剩余类如何恢复原变量；再进入含乘积的有限域计数。后者必须把乘积右端为零与非零分开，非零时的唯一恢复不能无条件套用。
前题的固定系数始终可逆；后题中被除的变量可能为零，零支还有交叠计数。
培玉 · 一试
2023 年四川预赛
F2填空题数论
设集合 ，
则集合 中元素的个数为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
在模 的域中，由第一条同余式唯一确定 。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
随后只需按 是否为零，计数方程 的解。
解答
以下均在 中计算。由 ，每个 唯一确定
第二个条件化为
当 或 时，右端为 。此时 的有序对 共有
个。当 时，右端非零；任取 ，均唯一确定一个非零的 ，故有 个有序对。
因此
复核
的计数中， 只计一次；非零右端排除了 ，而 个非零 均给出唯一 。
方法总结
有限域上的乘积方程应先区分右端为零与非零：前者用并集计数，后者利用每个非零元素都可逆。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
由a+d=1消去d，按a=0、1与其余值分组；非零乘积由每个非零b唯一决定c，零乘积用简单容斥计数。
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易混 2023 年北京预赛 · P006651
两题都在模数下分类并恢复解，但素数模与合数模不能混用除法规则。单个有限域内的零乘积分类，可以依赖非零元素可逆；合数模的存在性还需逐素数幂核实并证明局部解能够拼合。
一题计一个素数域中的所有配置，另一题筛多个模数是否有解，还要处理提升及中国剩余定理；只有模素数有根并不完成全部模数检查。
已记下，谢谢！