2016 年黑龙江预赛 · 第 16 题

解答

由伸缩关系反复放大或缩小，在每个 $k\in \mathbb{Z}$ 的区间 $(2^k,2^{k+1}]$ 上有 $f(x)=2^{k+1}-x$，且 $f(2^k)=0$。所以结论一成立；各段的像为 $[0,2^k)$，并集为 $[0,+\infty )$，结论二成立。对结论三，$n\ge 0$ 时 $f(2^n+1)=2^n-1$，不可能为九；$n<0$ 时该值为 $1-2^n\in (0,1)$，也不可能，故三不成立。每个开幂间隔内函数斜率为负一。若某个开区间内含二的整数次幂，则在该点函数为零，其右侧立即取正值，不能递减；若不含任何这样的点，该区间必落在一个开幂间隔中。因此结论四也成立，正确序号为 $\boxed{1,2,4}$。