2021 年福建预赛

思路

取对数只要求原比较两边正；ln t>2(t-1)/(t+1)对t>1可由导数(t-1)²/[t(t+1)²]>0证明。

想法从哪来：指数与任意实幂比较先取对数，恒非负问题就变成x与a ln x的比较；x在一两侧对数符号不同，不能统一直接相除。为找最大参数，可先在x>1上求x除ln x的下界，再验证候选在零到一区间也成立；临界点代入可排掉所有更大参数。双零点问另需先确认a为正且两个根都大于一，才可用它们的对数作变量。相同参数给出同一函数两支的等高关系，再以两对数之比消去一者，根和下界化成一个标准严格对数不等式。不同根保证比值大于一，使最终严格号保留。

零点与恒正条件在取对数后都由函数 $x/\ln x$ 控制。第二问再令 $u_i=\ln x_i$， 把同一参数对应的两个分支关系化成标准对数不等式。