2022 年北京预赛

解答

记 $f(x)=x^2-4x$，并设

它们满足

取首项 $x_1=\beta$，数列就在 $\beta ,\alpha$ 之间交替，所以若 $b>\beta$，条件不成立。

下面证明每个非零首项的数列都必有一项不小于 $\beta$。反设一条这样的数列满足所有 $x_n<\beta$。它不可能在后来出现零：首个零的前一项只能是 $4$，而 $4>\beta$。又因负数的下一项严格为正，数列一定有正项。

任取一个正项 $u$。有 $0<u<\beta <4$，所以下一项 $v=f(u)<0$，再下一项 $f(v)>0$。由于假设 $f(v)<\beta =f(\alpha )$，且 $f$ 在负半轴严格递减，必有 $v>\alpha$。注意

结合 $0<u<\beta$，得到 $0<u<\delta$。这说明假设下的每个正项都在同一个区间 $(0,\delta )$ 内。

从一个正项开始，后面各项正负交替。将这些正项依次记为 $u_0,u_1,\dots$，则

因为 $0<u_j<\delta$ 且 $4-\delta =\beta$，所以

于是 $u_j>(4\beta {)}^j{u}_0$（$j\ge 1$）。但 $4\beta >1$，右边最终超过 $\delta$，与全部 $u_j<\delta$ 矛盾。

故每条合法数列确实有某项不小于 $\beta$。结合二周期，全部合法阈值恰为

最后求整数的全部可能值。任意实数 $b$ 都使 $(2b-3{)}^2\ge 0$，故其向下取整只能是非负整数。反过来，对任意非负整数 $N$，取

此时 $b\le 3/2<\beta$，所以它是合法阈值，而且

因此所问整数的完整可能值集合为

它不是由原条件唯一确定的一个整数；这里给出了全部可能值，并未另加“$b$ 最大”的条件。