2016 年安徽预赛 · 第 12 题

解答

若 $m=1$，差为 $1-n\le 0$，不合。若 $n=1$，差为 $m-1$，恰有所有 $m\ge 2$ 合法。下面设 $m,n\ge 2$。当 $n=2$ 时，$m=2,3,4$ 的差分别为 $0,1,0$；而 $m\ge 5$ 时 $2^m>m^2$，所以仅 $(m,n)=(3,2)$ 合法。当 $m=2,n\ge 3$ 时，$n=3,4,5$ 的差分别为 $-1,0,7$，故 $(2,5)$ 合法；$n\ge 6$ 时有 $2^n>n^2+2n$，差超过 $mn$，均不合。上述两条幂界可分别从 $5$、$6$ 为基用倍增归纳。剩下设 $m,n\ge 3$。函数 $\ln t/t$ 在 $t\ge 3$ 严格递减，故正差 $m^n-n^m>0$ 只能在 $n>m$ 时发生。固定 $m\ge 3$，记 $F_m(n)=m^n-n^m$。先考察 $n=m+1$：$m=3$ 时 $F_3(4)=17>12$；$m\ge 4$ 时，由 $(1+1/m{)}^m<e<3$ 得

又对 $n\ge m+1$，

所以

若 $F_m(n)>mn$，则 $F_m(n+1)>m^{2}n\ge m(n+1)$。由归纳，对所有 $n>m\ge 3$ 都有 $F_m(n)>mn$，均被排除。因此全部解为