2012 年安徽预赛 · 第 9 题

思路

和差化积把正弦和化成和角正弦乘差角余弦；$|\cos t|\le 1$ 常用于排除由条件解出的不可能角值。

想法从哪来：条件把两倍角的和与两个正弦的乘积放在一起，第一步应统一成和角、差角，而不是立即分别展开成许多项。三角形角和能把A加B换成C的补角，于是条件只剩C与A减B。若想证明C为直角，可先假设它不为直角，解出差角余弦，再利用余弦绝对值不超过一制造矛盾；除法之前必须把直角情形留出来。面积问在固定周长下进行，不能只说直角边相等时最大。把周长分别用两直角边乘积的平方根估计，两次均值不等式在同一个等腰直角形状取等，便同时给出上界和可达构造。

角和把条件化为和角、差角关系。假定非直角会迫使某余弦绝对值大于一，从而锁定直角；固定周长后的面积再用正数不等式估计。