2025 年福建预赛

思路

二次约束配成 $U^2+V^2=R^2$ 后可设 $U=R\cos \alpha ,V=R\sin \alpha$。辅助角公式给 $A\sin t+B\cos t$ 的振幅 $\sqrt{A^2+B^2}$，等号角须再检查原始变量限制。

想法从哪来：中点与三等分点都提示把小线段长度写成整边的固定比例。先对共享底角的两个三角形各用余弦定理，消去这个角，得到目标长度平方与两条从定角顶点出发的边长之间的关系。 固定夹角和对边长又给出这两个边长的二次约束，把交叉项配方后，约束就像一个椭圆，适合用正弦余弦参数表示。目标代入以后只剩一个倍角线性式，其全局上界由振幅确定。不过参数化若把正边长区域放大成整个圆，振幅上界只先给必要上界；最后必须挑到两个边长都严格为正的等号参数，才保证对应非退化三角形并实现最大值。

设 $OB=3m,OA=n$，先由两个三角形的余弦定理把 $E{F}^2$ 写成 $m,n$ 的二次式。 固定角与固定边 $AB$ 又给出一个椭圆型约束，将它参数化后即可把目标化为单个正弦函数。