2026 年广东预赛

思路

到两定点距离差的绝对值恒为常数且小于焦距的点构成双曲线。韦达关系给两根的和与积，再用 $(d-c{)}^2=(c+d{)}^2-4cd$ 把已知弦长转成方向参数条件。

想法从哪来：两个距离差分别用了相反顺序，先别把它们平方展开；它们说明两个点落在同一条定焦距离差曲线的不同支上。又因两点与延长线交点共线，可以把它们到交点的距离作为同一个一元二次方程的两个根。已知两点距离，就自然对应两根之差。 先按已知边长缩放为一，再根据延长方向固定点序，避免最后角的正负混乱。用射线单位向量表示交点位置，代入双曲线得到根和、根积；根差平方可以由这两者恢复，便消掉两个点的具体位置。求出方向后还要回查两根为正、次序正确及分属指定两支。

两个距离差条件分别说明 $C,D$ 位于以 $A,B$ 为焦点、实轴相同的一条双曲线的左右两支。把交点 $E$ 设为原点，同一直线上的 $C,D$ 就成为这条射线与双曲线的两个交点；利用交点参数的韦达关系可直接求出射线倾角。