2010 年湖北预赛 · 第 2 题

解答

设 $AB=c>0$。由角平分线定理，$AK/CK=AB/BC=c/2$，所以 $AK=c/2$、$AC=1+c/2$。角平分线长公式为

为说明此式，记 $m=AK,n=CK,a=BC,c=AB,d=BK$。斯图尔特定理给出 $a^{2}m+c^{2}n=(m+n)(d^2+mn)$；角平分线比 $m/n=c/a$ 使左端等于 $ac(m+n)$，消去正数 $m+n$ 即得 $d^2=ac-mn$。代入长度，

故 $AB=3$、$AC=5/2$。原三角形中

所以