2026 年山东预赛

解答

三棱柱有两个三角形底面和三个平行四边形侧面。每个三角形底面至少需要一块薄片， 每个非退化平行四边形侧面至少需要两块三角形薄片。因此至少需要

块。题中恰有 $8$ 块，所以两个底面各由一块薄片组成，三个侧面各由两块组成；每个侧面 均由一条对角线分成两个与底面全等的三角形。

记三棱柱的侧棱长为 $d$。对底边长 $a$ 所在的侧面，其中一块三角形的三边长多重集为 $\{a,d,e_a\}$，其中 $e_a$ 是所取对角线长；该多重集等于 $\{a,b,c\}$。 若 $a,b,c$ 两两不同，则分别考察底边长为 $a,b,c$ 的三个侧面，会得到

三者没有公共元素，矛盾。因此薄片一定是等腰三角形，这证明了 (1)。

下面求体积。先说明薄片不可能是等边三角形。若三边均为 $x$，则 $d=x$，三个侧面的 所取对角线也都长 $x$。取底面三条首尾相接的边向量 $\mathbf{p},\mathbf{q},\mathbf{r}$，则 $\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}=0$，且三者长度均为 $x$。 设侧棱向量为 $\mathbf{v}$。由每个侧面对角线长为 $x$，分别有某个正负号使

平方后可知 $\mathbf{v}\cdot \mathbf{p},\mathbf{v}\cdot \mathbf{q},\mathbf{v}\cdot \mathbf{r}$ 均为 $\pm x^2/2$。 但三者之和应为 $\mathbf{v}\cdot (\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r})=0$， 而三个 $\pm x^2/2$ 不可能相加为零，矛盾。

故设薄片的两条等边长为 $x$，第三边长为 $y\ne x$。考察底边长为 $y$ 的侧面， 其三角形三边多重集为 $\{y,d,e_y\}=\{x,x,y\}$，所以

在底面内取

使 $|\mathbf{p}|=|\mathbf{q}|=x$、 $|\mathbf{q}-\mathbf{p}|=y$，并记侧棱向量为 $\mathbf{v}$，则 $|\mathbf{v}|=x$。另外两个侧面的对角线均长 $y$，所以存在 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2\in \{1,-1\}$ 使

由底边 $BC$ 所在侧面的对角线长为 $x$，还有某个 ${\epsilon }_3\in \{1,-1\}$ 使

将 (2)、(3) 平方，得到

以及

由 (4) 的两式相减并与 (5) 比较，${\epsilon }_1,{\epsilon }_2$ 必须异号，且

若 $y^2\ge 2x^2$，式 (6) 给出 $y=2x$，与三角形不等式矛盾；故

由 (7)，

底面面积为 $1$，所以

由 (4)、(7)，$\mathbf{v}$ 在 $\mathbf{p},\mathbf{q}$ 上的内积分别为 $x^2/3$ 与 $-x^2/3$，或次序相反。因此 $\mathbf{v}$ 在底面上的正射影为

其长度平方为 $y^2/4=x^2/3$。设棱柱高为 $h$，则

故 $h=\sqrt[4]{2}$。底面积为 $1$，所以三棱柱体积为