2010 年天津预赛 · 第 2 题

解答

模二时，$a^2+ab+b^2\equiv a+ab+b$，当 $a,b$ 至少有一个为奇数时其值为一。右侧二千零一十为偶数，所以必须 $a,b$ 均偶，此时左侧被四整除。但 $2010\equiv 2(\mathrm{mod}4)$，矛盾。因此正整数解集合为 $\boxed{\varnothing }$。