2009 年山西预赛 · 第 10 题

解答

当 $n\ge 1$ 时，M的 $2^n$ 个子集可分成 $2^{n-1}$ 对 $\{S,M\setminus S\}$。每对中的两集合不交，因此所求集合族每对至多选一个，得 $k\le 2^{n-1}$。固定 $u\in M$，取所有包含u的子集，数量恰为 $2^{n-1}$，任意两者均包含u而相交。因此 $\boxed{k_{\max }=2^{n-1}}$。