培玉 · 一试
2021 年江西预赛
F3填空题函数的值域
函数
的值域是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
分式中的 提示令 ， 原式可连续化为一个四倍角正弦。
解答
令
则
显然 。并且例如取 或 ，相应实数 可使 ，所以两个端点均能取得。 故值域为
复核
在给定开区间与全体实数之间一一对应； 取得极值的 均在区间内，故值域端点应闭合。
方法总结
分母为 且分子含 时， 正切代换会同时产生 与 ，再合成为四倍角。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需辨认x/(1+x平方)与(1-x平方)/(1+x平方)的三角结构，化为四倍角正弦并检查换元覆盖实轴。
已记下，谢谢！