专题地图 › 向量的数量积与几何意义
2021 年浙江预赛
F1填空题向量的数量积与几何意义
已知单位向量 a,b,则 ∣a−2b∣ 的取值范围为 。
作答
分数写 a/b,根号写 √ 或 sqrt,π 写 pi 也可以。
标准答案:[1,3]
解析
思路
平方后只剩两向量夹角的余弦,直接利用余弦的取值范围。
解答
设 a,b 的夹角为 θ,则
∣a−2b∣2=1+4−4cosθ=5−4cosθ.
因 −1≤cosθ≤1,故
1≤∣a−2b∣2≤9,
从而所求范围为 [1,3]。
复核
当两向量同向、反向时分别取得下、上端点,区间内各值由夹角连续变化均可取得。
方法总结
单位向量线性组合的模长范围,通常先平方并转化为夹角余弦的一次函数。
为什么评为 F1(会透露解法方向)
展开为5减4cos夹角,直接用余弦范围且两端由同向反向取得。
用到的方法(会透露解法方向)
核心工具:用实参数表示后求全局最值、展开模平方与数量积
专题卡:数量积:选好出发点,展开后用已知的量、角度、斜率或位置变化:化成一个变量再比较