易混 2023 年甘肃预赛 · P006671
两题都用二次式约束参数，但整数域与实数域的要求不同。整数点上恒非负可以容许实数负区间里没有整数；实根集被包含在给定区间时，则必须控制真实两根的位置，不能用几个整数的代入代替。
是否只检查整数，是选择判别式分支或连续根区间分析前必须辨认的条件。
培玉 · 一试
2022 年福建预赛
整数二次不等式的最大常数
F3解答题不等式的证明
如果对任意的整数 ，不等式
恒成立，求最大常数 。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
思路
先用小整数代入压低 的上界，再证明相邻整数之间的二次函数没有负值。
解答
取 ，得 ，所以 。
下证 可行。原不等式左端减右端为
把它看成关于 的二次式，其判别式为
当整数 时，，故 ；当 时，
对整数 也成立。因此 对所有整数 均可行，最大常数为
复核
与 均使 时取等号，同时说明任何 都不可能。
方法总结
整数域恒成立的二次不等式可以允许实数域中有很窄的负区间；判别式结合唯一需单查的整数参数能保留这一离散优势。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
取(1,1)给候选3后，需利用x为整数使判别式仅在x=1可能非负，再以y的整数间隙证明(y-1)(y-2)>=0；实数连续最值不能直接替代。
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易混 2025 年广东预赛 · P006230
两题都由少数测试点约束参数，再证明候选常数对整个定义域成立。但余弦代换后是一个实数闭区间，整数二次式却可容许相邻整数之间出现负值；不能把同一套判别式要求机械搬过去。
先辨认量词覆盖连续区间还是整数点，再判断测试点所得条件是否充分。
已记下，谢谢！