培玉 · 一试
2022 年北京预赛
含根式四次方程的正根
F3填空题多项式
满足
的所有正实数 的整数部分之和是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
题目只问正根整数部分，不必求根式表达式；先用符号变化限制正根个数，再用整数点夹根。
解答
记左端多项式为 。按降幂排列，其非零系数符号为
共有两次变号。由笛卡尔符号法则， 的正根至多有两个。 另一方面，
因此由介值定理，区间 与 内各有一个正根。正根至多两个，所以这就是全部正根。 它们的整数部分之和为
复核
可平方核对为 ； 显然成立。
方法总结
“根的整数部分”类问题宜优先做根数上界和区间夹逼，通常无需显式解高次方程。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
因式分解可把四次方程化为两个二次方程，再用整数点定位正根，判断根的整数部分。
已记下，谢谢！