垫脚石（此题 → 相关题） 2022 年浙江预赛 · P006911
先用函数值与导数值确定重复一次因子下的余式，再练习多点高重根如何填满导函数的次数。共同关键是把重数翻译为若干阶导数同时为零，而不是只使用根处函数值。
前题求低次余式；后题先确定导函数形状，再用两端函数值确定比例常数。
培玉 · 一试
2026 年贵州预赛
F2填空题多项式
多项式 除以 的余式为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
余式次数小于 ，无需长除法。
思路
利用原多项式与余式在 处的函数值、导数值相同， 即可确定一次余式。
解答
令 。模 的余式为
计算得
故
复核
在 处的值和导数均为零，所以确含因子 ； 且所得余式次数小于 ，满足唯一性条件。
方法总结
除数为 时，余式由被除式在 处的函数值和一阶导数唯一确定，即 。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
余式为一次式，由原式与导数在x=1的值确定两个系数，是重根余式常规模型。
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