易混 2022 年甘肃预赛 · P006812
两题都把“存在满足条件的根”转成一个实参数,但参数端点是否可取决定值域边界。非实根的虚部不能为零,定模根的实部范围因此是开区间;指定闭区间内的零点则允许在端点取到最优值。
参数化后的二次最值不能自动包含全部边界,须分别验证非实性、原零点区间与其他系数限制。
具有定模虚根的三次方程参数范围
若实数 使得关于 的方程
有模为 的虚根,则 的取值范围为。
分数写 a/b,根号写 √ 或 sqrt,π 写 pi 也可以。
实系数多项式的非实根成共轭对,结合根的模与韦达定理即可用其实部作单参数表示。
设两个非实根为 ,其中
因三根之和为 ,第三根为 。由韦达定理,
所以
由于 ,有 。上式在 处取到最大值 ,而当 时趋于但取不到 。连续性表明中间所有值均可取得,故范围为
对任意 ,取 并按上式定义 ,所得三次多项式确有根 ,所以没有只得必要条件。
实系数三次方程含定模虚根时,以虚根实部参数化,并用共轭根和韦达定理消去虚部,常可把参数范围化为二次函数值域。
先用共轭根和缺二次项确定第三根,将m+n降为实部的一元二次式,非实条件决定开区间端点。
易混 2022 年甘肃预赛 · P006812
两题都把“存在满足条件的根”转成一个实参数,但参数端点是否可取决定值域边界。非实根的虚部不能为零,定模根的实部范围因此是开区间;指定闭区间内的零点则允许在端点取到最优值。
参数化后的二次最值不能自动包含全部边界,须分别验证非实性、原零点区间与其他系数限制。
已记下,谢谢!