2008 年山西预赛 · 第 5 题

解答

分母 $x^2-3x+3=(x-\frac{3}{2}{)}^2+\frac{3}{4}$ 始终为正。设函数值为整数 $k$。$k=0$ 时 $x=-1$，为有理数。若 $k\ne 0$，则

有实根必须 $\Delta \ge 0$，整数候选只能为 $k=0,1,2,3$。其中 $k=1$ 给 $x=2\pm \sqrt{2}$，两根无理；$k=2$ 的判别式为九，$k=3$ 为四，两者的根都为有理数。因此共有 $\boxed{2}$ 个，选 B。