同一骨架 2026 年北京预赛 · P005956
两题都先求模平方,用单位圆上的倒数与共轭相同,把复多项式变成一个有界实参数的多项式。难点在于保留准确区间,再比较全部内部驻点与端点;模的最值最终还须从平方值取非负根。
一题降成二次式可以直接配方,另一题含更高次的余弦对称项,需要完整检查导数得到的候选点。
已知复数 满足 ,则 的最小值为 。
分数写 a/b,根号写 √ 或 sqrt,π 写 pi 也可以。
令 ,把模长平方化成 的二次函数。
先回想这道题的想法,再试试当前题。
记 。由 ,展开得
当 时等号可取,故最小值为
,对应的单位复数确实存在;先求模平方最小值不改变最小点。
单位复数的模长最值可用 ,最终化为 的实变量问题。
利用单位模把共轭写成倒数,展开后将目标转为cos辐角的二次式,并确认顶点在可行区间。
同一骨架 2026 年北京预赛 · P005956
两题都先求模平方,用单位圆上的倒数与共轭相同,把复多项式变成一个有界实参数的多项式。难点在于保留准确区间,再比较全部内部驻点与端点;模的最值最终还须从平方值取非负根。
一题降成二次式可以直接配方,另一题含更高次的余弦对称项,需要完整检查导数得到的候选点。
已记下,谢谢!