一试训练题

解答

由 $a,b,c$ 依次成等差数列，可写

令 $u=|d|$，则三边可重新排列为

平方和条件给出

因此 $b^2\le 28$。

三角形中最大边必须小于另两边之和，故

即

将 $u^2=d^2=(84-3b^2)/2$ 代入，得

又 $b$ 是边长，所以 $b>0$。由此

反过来，任取满足上述不等式的 $b$，令

此时 $d\ge 0$，且 $2d<b$，所以 $a>0$，并且最大边 $c$ 满足 $c<a+b$；其余两个三角形不等式自动成立。因此这些 $a,b,c$ 确实构成三角形三边并满足平方和条件。

故 $b$ 的取值范围为