2016 年山西预赛 · 第 9 题

解答

记 $A=a^2,B=b^2$，两交点横坐标为 $x_1,x_2$。代入 $y=x+\sqrt{2}$，韦达给 $S=x_1+x_2=-2\sqrt{2}A/(A+B)$、$P=x_1{x}_2=A(2-B)/(A+B)$。垂直条件是 $0=2P+\sqrt{2}S+2=2-2AB/(A+B)$，所以 $AB=A+B$。由 $M{N}^2=2(S^2-4P)=8-16/(A+B)=6$，得 $A+B=8,AB=8$。因 $A>B>0$，得到 $A=4+2\sqrt{2},B=4-2\sqrt{2}$。故方程为 $\boxed{x^2/(4+2\sqrt{2})+y^2/(4-2\sqrt{2})=1}$。