同一骨架 2021 年江西预赛 · P007019
两题都在求若干函数下包络的最高点。先用一增一减的两项确定可能的平衡位置，再在交点两侧各挑一项压住整个最小值，并检查剩余项在交点不将高度压低。
一个先把不同底数的对数统一成同一变量；另一个已有两条直线，但还须核二次项在候选点的影响。
培玉 · 一试
2025 年云南预赛
两对数函数较小值的最大值
F2填空题重要初等函数
设函数
其中 表示 中的较小者。则 的最大值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
两个对数的底互为幂，令 后，题目化为一条递增直线与一条递减直线的较小值求最大值。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
最大值只能在两直线交点处取得。
解答
定义域为 。令 ，则 可取任意实数，且
因此
当 时，较小者为 ，随 增大；当 时，较小者为 ，随 减小。故在
处取得最大值
复核
对应 ，所以最大值能够取得。交点两侧分别由不同的直线成为较小者，排除了端部取得更大值的可能。
方法总结
若两个对数函数的底是同一底数的幂，先统一为同一对数变量。一个递增量与一个递减量的最小值，其最大值通常位于二者相等的位置，但仍需检查交点属于定义域。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
换元后成为一增一减两直线的较小值，比较交点两侧即可求得最大值。
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