2008 年河南预赛 · 第 15 题

解答

设 $s=3/2$，取 $A=(-s,-s,0),B=(s,-s,0),C=(s,s,0),D=(-s,s,0),P=(0,0,h)$。相邻两侧面 $PAD,PCD$ 的外法向量可取 $(-h,0,s),(0,h,s)$。内二面角为一百二十度，外法向量角为六十度，故 $s^2/(h^2+s^2)=1/2$，得 $h=s$。对面 $PBC$ 的外法向量为 $(h,0,s)$，与 $PAD$ 的法向量点积为 $-h^2+s^2=0$，所以 $\boxed{PAD\perp PBC}$。外球中心在竖轴上，设有向高度 $t$；等距底顶点与 $P$ 给 $2s^2+t^2=(h-t{)}^2$，所以 $t=-s/2$，半径 $R=h-t=9/4$。五点均等距，外接球存在，且 $\boxed{V_{\text{球}}=243\pi /16}$。